Rozwinięcie multipolowe

Rozwinięcie multipolowe – opowiedzieć pola ręcznego, pochodzącego odkąd podłoży zawarty w ograniczonym obwodzie, w figury szeregu potęg odwrotności odległości od chwili ustępu, w którym przystaje wykryć potencjał. Taki relacja jest nieczęsto używany dla potencjałów pól elektromagnetycznych operacja logiczna grawitacyjnych. Jako, iż m-ty wyraz rozpakowania ginie z odległością od źródeł niczym \frac1r^m, ów dla godziwie wielgachnego r zdominuje znajdujący się u samego dołu nieznikający ślad rozwijania. Pierwszy termin rozcapierzenia (m=1) jest członem monopolowym, kolejny (m=2) jest członem dipolowym, trzecia część (m=3) kwadrupolowym i tak dalej. W losie rozłożenia we współrzędnych krągłych, stopniowe ślady portretują czynniki geometrii pola o raz wewnątrz razem mniejszej rozciągłości kanciastej. Wyraz monopolowy moja symetrię bulwiastą (onym zależy od chwili współrzędnych narożnych), słowo dipolowy transformuje proroctwo na dyscyplinie wobec przewyższaniu równiny symetrii pola.

Sformułowanie matematyczne

Przykład – dyscyplina elektrostatyczne

Ograniczony zakres Ω obejmuje zarzewia pola – w elektrostatyce są ten ekwipunki elektryczne – o konsystencyj \varrho=\varrho(\vecx'). Potencjał pola elektrostatycznego w artykule przedstawionym wektorem \vecx, ustronnym odkąd obszaru Ω obejmującego źródła pola potężna wyrażać zbyt pomocą rządu Taylora:

\phi(\vecx)=\frac14\pi\varepsilon \iiint\limits_\Omega \frac\varrho(\vecx')d\omega'=\sum\limits_n=0^\infty\phi_n(\vecx),

dokąd ε ów przenikalność elektryczna, zaś ślady kolekcyj, wskazywane potencjałami multipolowymi wyrażą się za pośrednictwem:

\phi_n(\vecx)=\frac(-1)^nn!\frac14\pi\varepsilon \frac\partial ^n r_0^-1\partial x^i_1\cdots\partial x^i_n \iiint\limits_\Omega \varrho(\vecx')x'^i_1\cdots x'^i_n d\omega'=(-1)^n\frac14\pi\varepsilon M^i_1\dots i_n \frac\partial ^n r_0^-1\partial x^i_1\cdots\partial x^i_n.

Symbole x^i a x'^i zwą współrzędne kartezjańskie przystających wektorów, oraz r_0 istnieje długością wektora \vecx. Niezależne od \vecx sił ustalone ideałem:

M^i_1\dots i_n=\frac1n! \iiint\limits_\Omega \varrho(\vecx')x'^i_1\cdots x'^i_n d\omega'

nazywane są momentami multipolowymi rzędu n; wzorcowo chwila multipolowy rzędu 1 zatytułuje się momentem dipolowym. W elektrostatyce potencjały multipolowe wolno tłumaczyć w charakterze potencjały pochodzące odkąd kosmicznych organizmów ładunków punktowych.

Wyrażenie na skroś harmoniki obłe

Potencjał V pola w paragrafie opowiedzianym współrzędnymi jajowatymi (r,\theta,\phi), ustronnym od obniżonego zakresu, obejmującego źródła pola, silna okazać zbytnio pomocą kwoty harmoniki opływowych rozsiewanych dzięki wskaźniki C^m_l,j podrzędne odkąd promienia r:

V(r,\theta,\phi) = \sum_l=0^\infty\, \sum_m=-l^l\, C^m_l(r)\, Y^m_l(\theta,\phi)= \sum_j=1^\infty\, \sum_l=0^\infty\, \sum_m=-l^l\, \fracD^m_l,jr^j\, Y^m_l(\theta,\phi),

dokąd D^m_l,j to stałe wskaźniki.

Monopol

Pole monopola (w tej okolicy: punktowego ładunku pozytywnego)

Pole monopola jest obło regularne. Taki usposobienie ma np. niwa elektryczne jednorazowego ładunku elektrycznego rozkoszować się działka grawitacyjne generowane poprzez pozycja materialny. W elektrostatyce chwila monopolowy istnieje prosty istotnemu ciężarowi układu:

M^0=\iiint\limits_\Omega \varrho(\vecx') d\omega'=Q.

Prawo Gaussa na rzecz magnetyzmu zdradza przypuszczenie, że dziedzina magnetyczne niego ma źródeł, tj. onego istnieją monopole magnetyczne, samoistne bieguny „nordowy” operacja logiczna „płomienny”. Takie odrobiny nigdy oną zostały zapisane, jakoś pojawiają się w poniektórych hipotezach cielesnych (hipotezach dużej unifikacji).

Dipol

Pole dipolowe oglądane w równinie dipola, daleko od chwili źródeł pola

Pole dipolowe moja symetrię osiową. Najprostsze pole magnetyczne, np. sporządzane w poprzek ciasną, wzajemną pętlę z biegiem, moja charakter dipolowy. Ziemskie aspekt magnetyczne globalnie moja kierunek dipolowy (z wyjątkiem okresów przebiegunowania Ziemi), aliści występujące miejscowo anomalie magnetyczne pokazują, iż wyższe składowe pola samego onymi są zerowe.

Elektryczny krótki czas dipolowy moja złożone obliczone stylem:

M^i=\iiint\limits_\Omega \varrho(\vecx')x'^i d\omega',

w związku z tym w trafie rozkładu N ładunków punktowych wymawia się przepisem:

\vecM=\sum_i=1^N q_i\vecx_i.

Kwadrupol

Pole kwadrupolowe śledzone w płaszczyźnie kwadrupola, daleko od chwili źródeł pola

Pole kwadrupola jest regularne względem równin, w jakiej odkrywają się źródła pola. Przykładem kwadrupola istnieje rozkład cewki wyzyskiwany w charakterze analizator masy, tudzież aż do kolimacji wiązki partykuły naładowanych.

Moment kwadrupolowy katalogu ładunków elektrycznych wyznaje się deseniem:

M^i_1 i_2=\frac12 \iiint\limits_\Omega \varrho(\vecx')x'^i_1 x'^i_2 d\omega',

wysokość ta istnieje tensorem proporcjonalnym.

Bibliografia

  • David J. Griffiths: Podstawy elektrodynamiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001. ISBN 83-01-13376-7.
  • Roman S. Ingarden, Andrzej Jamiołkowski: Elektrodynamika perfekcyjna. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00454-9.